No30-转-扩展欧几里德定理

文章目录

1. 1. 扩展欧几里德定理
2. 2. 对欧几里德定理的理解
3. 3. C++实现
4. 4. 感谢

扩展欧几里德定理

　　对于不完全为 0 的整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数。那么一定存在整
数 x，y 使得 gcd（a，b）=ax+by。

对欧几里德定理的理解

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab<>0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)b)y2=ay2+bx2-(a/b)by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为gcd不断的递归求解一定会有个时候b=0，所以递归可以结束。

C++实现

#include <cstdio>
using namespace std;
int x, y, q;
void extend_Euclid(int a, int b)
{
    if( b == 0 )
    {
        x = 1;
        y = 0;
        q = a;
    }
    else
    {
        extend_Euclid(b, a % b);
        int temp = x;
        x = y;
        y = temp - a / b * y;
    }
}
int main(void)
{
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    if(a < b)
    {
        int t = a;
        a = b;
        b = t;
    }
    extend_Euclid(a,b);
    printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n", q, x, a, y, b);
    return 0;
}

感谢

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